Lotka-Volterra

Die Lotka-Volterra-Gleichungen (auch als Räuber-Beute-Gleichungen bekannt) sind ein System aus zwei gekoppelten Differentialgleichungen. Sie beschreiben die Wechselwirkung von Räuber- und Beutepopulationen. Mit Räubern und Beute sind zwei Klassen von Lebewesen gemeint, deren eine sich von der anderen ernährt. Aufgestellt wurden die Gleichungen 1925 von Alfred J. Lotka und, unabhängig davon, 1926 von Vito Volterra. Wesentliche Eigenschaften der Lösungen dieser Gleichungen sind als Lotka-Volterra-Regeln bekannt.

Alfred James Lotka
Vito Volterra

Theorie

Die Lotka-Volterra-Gleichungen sind eine wichtige Grundlage der Theoretischen Biologie, und darin insbesondere der Populationsdynamik. Bei den Räubern und der Beute muss es sich nicht unbedingt nur um Tiere oder einzelne Arten handeln.

Die Anwendbarkeit der Lotka-Volterra-Gleichungen hängt dabei davon ab, inwieweit die Begründung des mathematischen Modells im Einzelfall zutrifft.

d N 1 d t = N 1 ( ε 1   -   γ 1 N 2 ) N 1 = Anzahl der Beutelebewesen ε 1 = Reproduktionsrate der Beute γ 1 = Sterberate der Beute pro Raubtier
d N 2 d t = - N 2 ( ε 2   -   γ 2 N 1 ) N 2 = Anzahl der Raubtiere ε 2 = Sterberate der Raubtiere γ 2 = Reproduktionsrate der Raubtiere pro Beute

Die Lotka-Volterra-Gesetze

Die Lotka-Volterra-Gleichungen sind nur eine vereinfachte, mathematische Repräsentation eines sehr komplexen Zusammenspiels innerhalb einer Nahrungskette oder eines Nahrungsnetzes. So wird das Zusammenleben der Räuber- und Beutetiere so weit reduziert, dass nur noch ein Räuber oder eine Räuberart sich nur von einer Beute ernähren, zudem hat die Beute keine anderen Fressfeinde. Weiterhin werden jegliche anderen Faktoren, wie z.B. das Nahrungsangebot der Beute, der Lebensraum, vollständig aus der Gleichung herausgenommen. Dadurch entsteht ein abstraktes Ökosystem, welches nur bedingt der Realität entspricht, aber auf viele Populationen und deren Dynamiken zumindest theoretisch angewendet werden kann.

Periodische Schwankungen der Populationen

Die Populationsbestände der Räuber und Beute schwanken bei konstanten Bedingungen periodisch. Dabei sind diese zeitlich verschoben, sodass die Beute zuerst sein Maximum erreicht und anschliessend die Räuber den maximalen Bestand erreichen.

Konstante Mittelwerte

Der durchschnittliche Artenbestand der Beute und Räuber bleit über den zeitlichen Verlauf konstant. Die Population der Räuber und Beute schwankt somit um diesen Wert zu den Hoch- und Tiefpunkten. Der durchschnittliche Bestand der Beute ist jedoch höher als derjenige der Räuber, da sich ein Räuber von mehreren Beutetieren ernährt.

Schnelleres Wachstum der Beutepopulation

Wird die Population beider Arten dezimiert, so nimmt der Bestand der Beute schneller zu als die der Räuber. Die Beute ist in der Regel kleiner, hat einen kürzeren Generationenwechsel und hat tendenziell mehr Nachkommen pro Generationenwechsel. Im Gegensatz dazu haben die Räuber nach der Dezimierung noch wenig Futter und einen längeren Generationenwechsel.

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